[인공지능 수학] 행렬

목표

• 행렬 연산을 이해한다.
• 행렬의 선형변환에 대해 이해한다.
• 역행렬및 전치 행렬에 대해 이해한다.

 

행렬이란

n,m이 양의 정수일때 n행 m열로 나열된 실수의 2차원 배열을 행렬이라 합니다.

 

행렬의 덧셈과 뺄셈

• 두 행렬 A,B에서 같은 자리에 있는 원소들끼리 더하거나 빼는 연산

• 두 행렬의 크기가 같아야만 연산 가능함

 

행렬의 스칼라곱

 

행렬의 곱셈

n*m 행렬과 m*s 행렬의 곱은 n*s 행렬이 생성되며

A의 i번째 행과 행렬 B의 j번째 열이 서로 대응하여 연산 되기 때문에 행렬 A의 열크기와 B의 행 크기가 서로 같아야 합니다.

 

전치행렬

n*m 행렬을 행과 열을 바꾼 m*n 행렬을 전치행렬이라고 합니다.

예)

 

역행렬

• 정사각행렬 A에 대해 A*B = B*A = I를 만족하게 하는 행렬 B

※ I 는 단위행렬

예)

• 행렬에는 나눗셈이 없는 대신에 역행렬이 존재합니다.
• 역행렬은 정방행렬로만 정의 됩니다.
• 행렬식을 이용한 역행렬 구하는 방법

  

• 행렬식(Determinant) |A| 또는 det(A) 구하는 방법

  

•  수반행렬[A_ij]^T : ([A_ij]의 여인수행렬에 대한 전치행렬)

  

• 3차 정사각행렬 부터는 가우스소거법등을 이용해서 수반행렬을 구할 수 있다.
• 2차 정사각행렬의 역행렬 구하는 공식

  

 

선형변환

• 인공지능에서는 데이터의 집합(행렬)을 선으로 표현하여 예측을 수행 할 수 있습니다.
• 선형변환이란 벡터에 행렬을 곱해서 또 다른 벡터를 만드는 것을 말합니다.
• 하나의 벡터 공간에서 다른 벡터 공간으로 벡터의 특징을 유지한 채 변환하는 방법의 코드입니다.
  • (-1,2)(1,1) 의 2차원 벡터에서 1과 5의 1차원 스칼라 위치로 변환하는 예

    

 

인공지능에서의 활용

• 인공지능 분야에서 많이 사용하는 알고리즘 중에 신경망이 있는데 신경망은 파라미터와 가중치를 곱한 다음 그 결과를 모아서 합산하는 처리를 하는데 이러한 과정이 선형 변환으로 볼 수 있습니다.
• 인공지능에서 데이터는 여러개의 속성을 가지고 있는데 이러한 속성을 차원 형태로 변경하여 데이터를 행렬 형태로 관리하여 처리 합니다.
• 따라서 행렬의 선형변환 으로 예측 가능한 그래프로 표현 할 수 있습니다.

 

 

[참고]

컴퓨팅 사고력을 키우는 이산수학

인공지능을 위한 수학