[인공지능수학] 확률

1. 확률의 정의

확률(Probability) : 표본공간 S 중에서 특정 사건 A 가 일어날 가능성

P(A) =\(|A| \over |S| \)

여기서 P(A) 는 0과 1 사이의 실수

|A| 는 특정사건 A가 일어나는 경우의 수

|S| 는 표본공간 S가 일어나는 경우의 수(전체사건이라고도 함)

예) 주사위 두 개를 던질 때 두 수의 합이 3 이하가 나올 확률은 다음과 같이 구한다.

주사위 두개를 던질 때 나오는 모든 경우의 수 (표본공간 S가 일어나는 경우의 수 |S| ) = 6 * 6 = 36가지

두 수의 합이 7 이하가 나오는 경우의 수(특정 사건 A가 일어나는 경우의 수 |A|) = (1,1),(1,2),(2,1) = 3가지

따라서 P(A) = \( 3 \over 36 \) = \( 1 \over 12 \)

 

2. 순열(Permutation)

확률에서 경우의 수를 구하기 위해서는 경우의 수를 구할 수 있는 순열,조합등에 대한 이해가 필요합니다.

순열이란 서로 다른 n개의 원소 중 r개를 중복하지 않고 선택하여 순서대로 나열 한 것으로 다음과 같이 표현 합니다.

_nP_k = n * (n-1) * (n-2) * .... * (n-r+1)

예) 1,2,3,4 네개의 숫자 중 서로 다른 3개의 숫자를 나열해 만들 수 있는 세자리의 숫자는 몇개인가?

첫번째자리에 선택 할 수 있는 경우의 수 : 1,2,3,4 4가지

두번째 자리에 선택 할 수 있는 경우의 수 : 첫번째 자리에서 선택된 수를 제외한 3가지

세번째 자리에 선택 할 수 있는 경우의 수 : 첫번째와 두번째 자리에서 선택된 수를 제외 한 2가지

따라서 4 * 3 * 2 = 24가지

이때 ₄P₃ = 4 * 3 * 2 = 24

 

3. 조합(Combination)

조합이란 서로 다른 n개의 원소 중 r개를 중복하지 않고 선택하여 순서에 의미를 두지 않고 나열한것

_nC_r = _nP_r / r!

예) 탁구공 4개에 1번 부터 4번까지 번호를 매겼습니다. 여기서 3개를 바구니에 넣는 경우의 수는 몇개입니까?

여기서 1,2,3 을 선택하든 3,2,1 을 선택하든 동일한 결과를 얻게 됩니다. 따라서 이러한 경우는 조합으로 문제를 풀면 됩니다.

4개중 3개를 순서대로 나열하는 경우의 가지수 4*3*2 = 24 가지 인데

여기서 선택된 3개의 순서를 바꾸는 경우의 가지수는 3 * 2 * 1 = 6가지 입니다.

따라서 24 / 6 = 4 가지 경우가 발생합니다.

이때는 4개중에 3개를 선택해서 바구니에 넣는 경우도 생각 할 수 있지만 거꾸로 4개를 모두 선택 후에 1개를 빼는 경우를 생각 할 수 있습니다.

따라서 _nC_r = _nC_n-r 과 같습니다.

 

4. 여사건(Complementary Event)

사건 A가 발생할 확률이 P 일때, 사건 A가 발생하지 않을 사건을 A의 여사건이라고 하며 발생할 확률은 다음과 같습니다.

P( \( \bar{A} \) ) = 1 - P(A)

예) 52장의 트럼프 더미에서 4장의 카드를 동시에 뽑았을 때 적어도 1장이 스페이드(♠) 인 확률을 구하시오.

이때는 4장이 선택되었는데 스페이드(♠)가 한장도 없는 경우의 확률을 구한 후에 1에서 빼 주는 것으로 생각 할 수 있습니다.

스페이드(♠)가 한장도 없는 경우의 확률은

52장에서 4장을 순서없이 고르는 경우(전체사건) ₅₂C₄

52장에서 스페이드(♠)가 한장도 없는 경우는 스페이드(♠)를 모두 없앤 후 52 - 13 = 39 에서 4장을 선택하는 ₃₉C₄

따라서 1 - ₃₉C₄/₅₂C₄ = 14498/20825 가 됩니다.

 

5. 조건부 확률(Conditional Probability)

사건 A가 일어났다고 가정했을 때 사건 B가 일어날 확률을 조건부 확률이라고 하며 다음과 같이 표현합니다.

P(B|A) = P(A∩B)/P(A)

여기서 

P(A∩B)는 표본공간 S에서 사건 A,B가 동시에 일어나는 확률

P(A)는 표본공간 S에서 사건 A가 일어나는 확률

P(B|A)는 표본공간 A에서 사건 B가 일어나는 확률

을 의미합니다.

예) 두개의 주사위를 던졌을 때 그 합의 짝수일때 그 곱이 10보다 크거나 같은 경우의 확률을 구하시오.

그 합이 짝수인 사건을 A, 그 곱이 10보다 크거나 같은 사건을 B라고 하면

A와 B가 동시에 일어나는 확률 P(A∩B) 는 다음과 같이 구한다.

표본공간 S는 6 * 6 = 36가지

A∩B = {(2,6),(3,5),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)} = 9가지

따라서 P(A∩B) = 9/36 = 1/4

A가 일어날 확률 P(A) = 18/36 = 1/2사건 A가 일어난 경우 사건 B가 일어나는 확률 P(B|A) = P(A∩B)/P(A) 이므로(1/4)/(1/2) =1/2※ 이러한 조건부 확률의 대표적인 예가 몬티홀 딜레마(https://wondangcom.tistory.com/878)가 있습니다.

 

 

인공지능에서 활용

• 현실 세계의 모든 현상들은 우연성을 가지고 있기 때문에 이런 현상을 표현할 때 확률을 빼고 설명하기 어렵습니다.
• 인공지능 분야에서는 상황을 판단하는 하나의 방법으로 정답이 될 확률이 가장 높은 것을 정답을 채택하는 방법을 사용합니다.

 

 

[참고]

인공지능을 위한 수학

컴퓨팅 사고력을 키우는 이산수학

 

[인천 서구 원당컴퓨터 학원]

 

[IT 관련 뉴스]

코딩 대학 필수과목으로~ - https://news.sbs.co.kr/news/endPage.do?news_id=N1006637411 

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