[기초수학]신경망에서 많이 사용하는 시그마

Σ (시그마)기호의 의미

수열의 부분합을 Σ 로 나타내며 Σ는 합을 의미하는 영어단어 'sum'의 앞글자 s에서 유래한 것이라고 한다.

수열 a_n의 합을 시그마 기호로 나타내면 다음과 같으며 '1항부터 n항까지 주열 a_n의 합계' 라는 의미이다.

$$\sum _{k=1}^n{a}_k=a_1+a_2+a_3+...+a_n$$

시그마 기호에 있는 문자 k는 항 숫자를 의미한다.

수학에서는 항 숫자를 의미하는 알파벳으로 i,j,k,l,m,n을 자주 이용하며 실제 사용은 다음과 같이 사용된다.

$$\sum _{n=1}^5{a}_n=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$$

$$\sum _{i=1}^5{i}^2=1^1+2^2+3^2+4^2+5^2$$

$$\sum _{i=1}^m{2}^i=2^1+2^2+2^3+...+2^m$$

 

Σ (시그마)기호의 특징

식1)

$$\sum _{i=1}^n(a_i\pm b_i)=\sum _{i=1}^n{a}_i\pm \sum _{i=1}^n{b}_i$$

식1 증명)

다음과 같이 위의 식을 실제 수열로 전개한 과정을 살펴 보면 다음과 같다.

$$\sum _{i=1}^n(a_i\pm b_i)=(a_1\pm b_1)+(a_2\pm b_2)+(a_3\pm b_3)+....+(a_n\pm b_n)$$

$$=(a_1+a_1+a_1+...+a_n)\pm (b_1+b_1+b_1+...+b_n)$$

$$=\sum _{i=1}^n{a}_i\pm \sum _{i=1}^n{b}_i$$

식 1에서 합이 i에 대한 두가지 식의 합 또는 차로 되어 있을 때 각각의 식의 합을 따로 구해서 더하거나 빼도 같은 것을 알 수 있다.

식2)

$$\sum _{i=1}^{n}c{a}_i=c\sum _{i=1}^n{a}_i(단c는상수)$$ 

식2 증명)

마찬가지로 위의 식을 실제 수열로 전개한 과정을 살펴 보면 다음과 같다.

$$\sum _{i=1}^{n}c{a}_i=c{a}_1+c{a}_2+c{a}_3+...+c{a}_n$$

$$=c(a_1+a_2+a_3+...+a_n)$$

$$=c\sum _{i=1}^n{a}_i$$

식2에서 상수 c가 곱해져 있을 때는 합을 구한 다음에 c를 곱해주는 것과 같다.

식3)

$$\sum _{i=1}^{n}c=cn$$

식3 증명)

마찬가지로 실제 수열로 전개한 과정을 살펴 보면 다음과 같다.

$$\sum _{i=1}^{n}c=c+c+c+....+c=cn$$

c가 n번 더해 지므로 c*n이 되는 것을 알 수 있다.

단 위의 특징은 합과 차로 되어 있을 때만 성립한다. 곱이나 나눗셈 인 경우에는 성립하지 않는다.

$$\sum _{i=1}^n(a_i{b}_i)\ne \sum _{i=1}^n{a}_i\sum _{i=1}^n{b}_i$$

 $$\sum _{i=1}^n(a_i/b_i)\ne \sum _{i=1}^n{a}_i/\sum _{i=1}^n{b}_i$$

 

참고)

한빛미디어 - 처음배우는 딥러닝 수학