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강의자료/인공지능수학

[기초수학]신경망에서 많이 사용하는 시그마

원당컴1 2023. 5. 26. 11:50

Σ (시그마)기호의 의미

수열의 부분합을 Σ 로 나타내며 Σ는 합을 의미하는 영어단어 'sum'의 앞글자 s에서 유래한 것이라고 한다.

수열 an의 합을 시그마 기호로 나타내면 다음과 같으며 '1항부터 n항까지 주열 an의 합계' 라는 의미이다.

$$\sum_{k=1}^na_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}$$

시그마 기호에 있는 문자 k는 항 숫자를 의미한다.

수학에서는 항 숫자를 의미하는 알파벳으로 i,j,k,l,m,n을 자주 이용하며 실제 사용은 다음과 같이 사용된다.

$$ \sum_{n=1}^{5}a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5} $$

$$ \sum_{i=1}^{5}i^{2}=1^{1}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2} $$

$$ \sum_{i=1}^{m}2^{i}=2^{1}+2^{2}+2^{3}+...+2^{m} $$

 

Σ (시그마)기호의 특징

식1)

$$ \sum_{i=1}^{n}(a_{i} \pm b_{i})=\sum_{i=1}^{n}a_{i} \pm \sum_{i=1}^{n}b_{i}\ $$

식1 증명)

다음과 같이 위의 식을 실제 수열로 전개한 과정을 살펴 보면 다음과 같다.

$$ \sum_{i=1}^{n}(a_{i} \pm b_{i})=(a_{1} \pm b_{1})+(a_{2} \pm b_{2})+(a_{3} \pm b_{3})+ .... + (a_{n} \pm b_{n}) $$

$$ = (a_{1}+a_{1}+a_{1}+...+a_{n}) \pm (b_{1}+b_{1}+b_{1}+...+b_{n}) $$

$$ = \sum_{i=1}^{n}a_{i} \pm \sum_{i=1}^{n}b_{i}\   $$

식 1에서 합이 i에 대한 두가지 식의 합 또는 차로 되어 있을 때 각각의 식의 합을 따로 구해서 더하거나 빼도 같은 것을 알 수 있다.

식2)

$$  \sum_{i=1}^{n}c{a_{i}}= c\sum_{i=1}^{n}{a_{i}} (단 c는 상수)$$ 

식2 증명)

마찬가지로 위의 식을 실제 수열로 전개한 과정을 살펴 보면 다음과 같다.

$$ \sum_{i=1}^{n}c{a_{i}}=c{a_{1}}+c{a_{2}}+c{a_{3}}+...+c{a_{n}} $$

$$ = c({a_{1}}+{a_{2}}+{a_{3}}+...+{a_{n}}) $$

$$ = c\sum_{i=1}^{n}{a_{i}} $$

식2에서 상수 c가 곱해져 있을 때는 합을 구한 다음에 c를 곱해주는 것과 같다.

식3)

$$  \sum_{i=1}^{n}c = cn $$

식3 증명)

마찬가지로 실제 수열로 전개한 과정을 살펴 보면 다음과 같다.

$$  \sum_{i=1}^{n}c = c + c + c +....+c = cn $$

c가 n번 더해 지므로 c*n이 되는 것을 알 수 있다.

단 위의 특징은 합과 차로 되어 있을 때만 성립한다. 곱이나 나눗셈 인 경우에는 성립하지 않는다.

$$ \sum_{i=1}^{n}(a_{i}  b_{i})\neq\sum_{i=1}^{n}a_{i}  \sum_{i=1}^{n}b_{i}\ $$

 $$ \sum_{i=1}^{n}(a_{i} / b_{i})\neq\sum_{i=1}^{n}a_{i} / \sum_{i=1}^{n}b_{i}\ $$

 

참고)

한빛미디어 - 처음배우는 딥러닝 수학

 

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