미적분은 왜 배워야 할까? 뉴턴과 라이프니츠가 세상을 바꾼 이야기

미적분은 왜 배워야 할까? 뉴턴과 라이프니츠가 세상을 바꾼 이야기

고등학교 수학 시간에 미적분을 처음 배우면서 이런 생각 해보신 적 있으신가요?

"이게 대체 어디에 쓰이는 거야?"

저도 학원을 운영하면서 학생들에게 이런 질문을 정말 많이 받습니다. 특히 요즘처럼 AI가 계산을 다 해주는 시대에 미적분을 왜 배워야 하는지 궁금해하는 학생들이 많아요.

오늘은 미적분이 어떻게 탄생했고, 왜 우리가 이걸 배워야 하는지 재미있는 이야기로 풀어보려고 합니다.

17세기 수학자들을 괴롭힌 한 가지 질문

1696년, 요한 베르누이라는 수학자가 당시 유럽의 천재들에게 도전장을 던집니다.

"A 지점에서 B 지점까지 구슬이 가장 빨리 굴러가는 길은 무엇일까요?"

직관적으로 생각하면 두 점을 잇는 직선이 가장 빠를 것 같죠? 그런데 놀랍게도 정답은 사이클로이드 곡선이었습니다.

이 문제를 풀려면 '어느 순간 가장 빠른가'를 계산해야 했는데, 바로 여기서 미분의 개념이 필요했던 겁니다. 단순히 거리만 비교하는 게 아니라, 매 순간의 속도 변화를 계산해야 했거든요.

움직이는 세상을 숫자로 표현하다 - 데카르트의 혁명

그럼 미적분이 탄생하기까지 어떤 과정이 있었을까요?

17세기 이전까지 수학자들은 큰 고민이 하나 있었습니다. 도형이나 공간은 기하학으로 다룰 수 있었지만, 움직이는 것을 어떻게 표현할지 막막했던 거죠.

여기서 데카르트가 등장합니다. 우리가 수학 시간에 배우는 좌표평면(x, y축)을 만든 바로 그 사람이에요.

데카르트는 이렇게 생각했습니다.

"움직이는 점도 결국 매 순간 어딘가에 위치하고 있잖아? 그럼 그 위치를 숫자로 나타내면 되지 않을까?"

정말 단순하지만 혁명적인 발상이었습니다. 덕분에 공간과 도형의 언어였던 기하학과, 숫자의 언어였던 대수학이 드디어 만나게 됩니다.

이제 움직이는 점, 변하는 속도, 휘어지는 곡선... 이 모든 걸 숫자와 식으로 표현할 수 있게 된 겁니다.

뉴턴과 라이프니츠, 드디어 미적분을 완성하다

그리고 마침내 17세기 후반, 두 천재가 거의 동시에 미적분을 발견합니다.

뉴턴은 사과가 떨어지는 걸 보면서 중력을 떠올렸다는 이야기는 유명하죠? 실제로 그는 행성이 어떻게 움직이는지, 물체가 떨어질 때 속도가 어떻게 변하는지 계산하고 싶었습니다.

라이프니츠는 조금 다른 방식으로 접근했지만, 결국 같은 결론에 도달했어요.

두 사람이 발견한 건 이런 겁니다:

"아무리 복잡하게 변하는 것도, 아주 짧은 순간만 보면 거의 일정하다. 그 순간을 무한히 쪼개서 보면 정확한 값을 알 수 있다."

예를 들어볼까요?

자동차가 달리고 있을 때 평균 속도는 쉽게 구할 수 있죠. 100km를 2시간에 갔으면 평균 시속 50km입니다.

그런데 정확히 1시간 30분 27초가 됐을 때 속도계를 보면? 그때의 순간 속도를 알 수 있습니다. 바로 이 순간 속도를 계산하는 게 미분이에요.

반대로 속도를 알면 이동 거리를 계산할 수 있는데, 이게 적분입니다.

미적분이 바꾼 세상

뉴턴과 라이프니츠의 발견 이후 세상은 완전히 달라졌습니다.

• 달과 행성의 궤도를 정확히 예측할 수 있게 됐습니다
• 다리와 건물을 더 안전하게 설계할 수 있게 됐습니다
• 전기와 자기의 변화를 이해해 발전기와 모터를 만들었습니다
• 빛이 어떻게 휘어지는지 계산해 안경과 카메라를 발명했습니다

현대 문명의 거의 모든 것이 미적분 없이는 불가능했을 겁니다.

왜 지금도 미적분을 배워야 할까?

"그래도 요즘엔 컴퓨터가 다 계산해 주잖아요?"

맞습니다. 하지만 컴퓨터에게 무엇을 계산하라고 할지는 사람이 정해야 합니다.

AI 시대에도, 아니 AI 시대이기에 더욱 미적분적 사고가 중요합니다.

변화율을 이해하고, 최적의 값을 찾고, 복잡한 문제를 작은 단위로 쪼개서 해결하는 능력. 이건 프로그래밍을 하든, 데이터를 분석하든, 어떤 문제를 해결하든 꼭 필요한 사고방식이거든요.

우리 학원에서 Python 머신러닝 수업을 할 때도, 결국 컴퓨터가 하는 일은 미적분을 이용해 오차를 최소화하는 겁니다. 원리를 이해하지 못하면 도구만 쓸 줄 아는 사람이 되는 거죠.

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미적분은 단순한 계산 기술이 아닙니다.

변화하는 세상을 이해하고, 최선의 해답을 찾아가는 인류의 지혜가 담긴 도구입니다.

여러분도 미적분을 배우면서 뉴턴과 라이프니츠처럼, 세상을 새로운 눈으로 볼 수 있게 되길 바랍니다.

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원당컴퓨터학원
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