2025년, 코딩은 선택이 아닌 필수!

2025년 모든 학교에서 코딩이 시작 됩니다. 먼저 준비하는 사람만이 기술을 선도해 갑니다~

강의자료/이산수학문제풀이

[정보올림피아드대비]5. 기하문제-평면

원당컴1 2022. 4. 7. 19:59

1. 도형의 둘레

- 사각형의 둘레 구하기

사각형 둘레는 a + a + b + b 이므로 2 * (a+b)

- 삼각형의 둘레 구하기

삼각형의 둘레는 a +  b + c 

※ 여기서 피타고라스 정리에 의해 직각 삼각형의 빗변 c의 제곱은 다른 두변 a,b의 제곱의 합과 같다

증명)

이렇게 연장선을 그려서 하나의 정사각형을 만들어 보자.

CDFH 의 넓이 = 삼각형 ABC의 넓이 * 4 + 사각형 AEGB의 넓이

CDFH 의 넓이 = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

사각형 AEGB의 넓이 = c * c

삼각형 ABC의 넓이 = a * b / 2 이므로

a^2 + 2ab + b^2 = c * c + 4 * a * b / 2

따라서 a^2 + b^2 = c^2

- 원의 둘레

원의 둘레는 원의 반지름과 비율이 일정합니다.

위의 그림과 같이 원을 잘게 잘라서 이어 붙인다고 하면 원의 둘레의 1/2 이 밑변이 되고 반지름이 높이인 직사각형을 만들 수 있는데요.

이때 밑변을 만드는 원의 둘레에 원주율을 곱해 주면 되는데 그 값은 일반적으로 3.14 로 계산합니다.(근사치값)

따라서 원의 둘레는 2 * 3.14 * 반지름 과 같이 계산합니다.

 

2. 도형의 넓이

- 사각형의 넓이 구하기 - 높이(h) * 너비(a)

 - 삼각형의 넓이 구하기 - (높이(h) * 너비(a)) / 2

그 외에도

더보기

- 각을 이용하여 구하는 공식 중에 다음과 같은 공식이 있다.(단, 정보올림피아드 문제 유형에는 없다.)

위의 그림에서 높이를 bsin(θ) 로 표현 할 수 있다.

따라서 넓이 = a * bsin(θ) / 2

- 세 변을 이용하여 넓이를 구하는 공식은 코사인 법칙을 이용해서 넓이를 구하는 공식이 있다.(단, 정보올림피아드 문제 유형에는 없다. - 단 고등부라면 향후에 나올 가능성이 있다는 점에 유의하자.)

코사인 법칙을 이용해서 유도를 하면 s=(a+b+c)/2 라는 임의의 수라고 가정하면

삼각형의 넓이 = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) 로 표현할 수 있다.

- 세 꼭지점의 좌표로 넓이를 구하는 방법 (기하 알고리즘에서 다각형의 넓이를 구하는 방법에서 자주 나오는 유형이다.)

이렇게 유도한 삼각형 넓이를 구하는 공식을 외우는 방법은 다음과 같다.

쌍끼리 곱한 후 빨간색은 + 부호 파란색은 - 부호를 붙여서 곱해 주면 다각형의 넓이 구하는 공식이 됩니다.

 

- 평행사변형의 넓이 구하기 - (높이(h) * 너비(a))

- 사다리꼴의 넓이 구하기 - (밑변(b)+윗변(u)) * 높이(h) / 2

- 마름모꼴의 넓이 구하기 - AC의 길이 * DB의 길이 / 2

- 원의 넓이 구하기 

여기서 원주란 원의 둘레의 길이를 의미하는데 원주는 원의 반지름의 길이의 비율이 일정합니다.

이때 이 비율을 원주율이라고 합니다. 

이 원주율은 약 3.14 이고 π(파이) 라고 합니다.

따라서 원의 넓이는 반지름 * 원주의 1/2 이므로 원주율 = 원주 / 지름 = 3.14 이므로

원주는 3.14(π) * 지름(2*반지름) 입니다. 

따라서 반지름(r) 인 원의 넓이 = r*r*π 입니다.

- 부채꼴의 넓이 구하기

부채꼴은 원의 일부분이기 때문에 원 하나의 몇분의 몇인지만 판단하면 됨

원의 각도는 360도 이므로 원의 넓이 r * r * 3.14 에서 Θ/360 를 곱해 주면 된다.

호의 길이 l 을 아는 경우에는 (r*l)/2 로 계산하기도 합니다.

l=2*3.14*r*Θ/360 이므로

넓이 = r * r * 3.14 * Θ/360 = 1/2*(2*3.14* r * r * Θ/360)=1/2*r*(2*3.14*r*Θ/360)이므로

넓이 = 1/2 * r * l

- 직육면체의 겉넓이 구하기

- 직육면체의 부피 구하기

- 원기둥의 겉넓이 구하기

원기둥의 전개도를 확인하면 높이 * 밑면의 원주 와 밑면의 원과 위면의 원으로 이루어져 있음을 확인할 수 있습니다.

여기서 밑면의 원주 = 2*π*r 입니다.

- 원기둥의 부피 구하기

- 원기둥을 잘게 자른 후에 조각을 서로 엇갈리게 붙이면 원주의 1/2 , 반지름, 높이인 각기둥의 부피와 같아 지는 것을 확인 할 수 있습니다.

원기둥의 부피 = r * r * 3.14 * 높이

 

3. 도형의 내각의 합

- 삼각형의 내각의 합 : 180도

증명)

ABC의 삼각형에 BC와 평행한 DE의 선분을 그었을때 위와 같은 그림이 됩니다.

따라서 DAB 와 ABC의 엇각의 크기가 같고 EAC와 ACB의 엇각의 크기는 같기 때문에...

각 DAB + 각ABC + 각CAE = 180 이 되는것을 확인 할 수 있습니다. 

- 다각형의 내각의 합 : n각형 = (n-2)*180

증명)

삼각형의 내각의 합이 180도가 되기 때문에 다각형을 위와 같이 삼각형으로 쪼갤 수 있는데 이렇게 쪼개 보면 n 각형은 n-2개의 삼각형으로 쪼갤수 있는것을 확인할 수 있다.

4. 도형 색칠하기

4색정리로 알려져 있는 이 문제는 평면을 유한개의 부분으로 나누어 각 부분에 색을 칠할 때, 서로 맞닿은 부분을 다른 색으로 칠한다면 네가지 색으로 충분하다는 정리이다.

이 문제는 지도에서 서로 맞닿은 지역에 다른 색을 칠한다는 것에서 착안해 만들어졌다.

4가지 색으로 칠한 지도의 예

이러한 4색정리는 모든 평면 그래프의 꼭짓점이 많아야 4가지 색만을 이용하여 인접한 꼭짓점들이 같은 색을 가지지 않도록 칠할수 있는 가 하는 것에서 출발했다.

 

[역대 기출문제유형]

https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSe1ldynHQSTCvBHvg2ay9_Zwuryu9zcbaPXJsRcj568jBqeXg/viewform

 

6-1. 기하문제 - 평면(초등부)

 

docs.google.com

https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLScPESMXYhmqsejBGKPYB-15QzFoPfxBAlFWGNuVuWXh3L-gjQ/viewform

 

6-2. 기하문제 - 평면(초등부)

 

docs.google.com

https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLScDgrJQDRxWhdulj_9b1vq73dGQZdeYIff68HSbGiOXRxLwyw/viewform

 

6-3. 기하문제 - 평면(중고등부)

 

docs.google.com

 

사업자 정보 표시
원당컴퓨터학원 | 기희경 | 인천 서구 당하동 1028-2 장원프라자 502호 | 사업자 등록번호 : 301-96-83080 | TEL : 032-565-5497 | Mail : icon001@naver.com | 통신판매신고번호 : 호 | 사이버몰의 이용약관 바로가기