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[정보올림피아드 대비]2. 수열을 응용한 문제(등차수열,등비수열 외)

파아란기쁨 2022. 1. 21. 20:52
목표

정보올림피아드 1차 예선 문제중 50%에 해당하는 200점이 이산수학 + 비버챌린지 유형으로 제출 됩니다.

실기문제 2문제를 모두 만점을 맞는 것도 중요하지만 실기문제도 수학적인 기반을 갖추고 있는 것이 유용합니다.

특히나 실기문제 유형들 중에서 수열을 응용한 문제들이 다양하게 출제되고 있습니다.

오늘은 수열을 응용한 문제들을 연습하면서 1차예선과 실기문제등을 모두 대비해 봅니다.

 

문제
등차수열이란 앞과 뒤의 두 항의 차이가 일정한 수열을 말합니다.
1,2,3,4,5,6,7... (1)
은 두 항의 차이가 1로 일정한 등차수열입니다.
11,14,17,20,23,.... (2)
은 두 항의 차이가 3으로 일정한 등차수열입니다.
이렇게 두 항의 차이가 같은 등차수열에서 두 항의 차이를 공차 라고 하며 일반적으로 문자 d로 표시를 합니다.

예를 들어 (1)의 등차수열에서 초항(처음시작하는 항) 은 1이고 공차(d)는 1인 수열입니다.
(2)의 등차수열에서 초항은 11이고 공차(d)는 3인 수열입니다.

이러한 등차 수열에서 n번째 항의 값을 찾는 방법은 다음과 같습니다.

n번째 항의 값 : 초항 + (n-1) * d(공차)
예) 초항이 1 이고 공차(d)가 1인 등차 수열에서 100번째 항의 값은 1 + 99 * 1 = 100 이 됩니다.

또한 등차 수열의 합의 공식은 다음과 같습니다.
1항 부터 n항까지의 등차수열의 합 = (초항 + n번째 항의 값) * n(개) / 2 입니다.

일반적으로 1부터 100까지의 합을 계산 할때 101 * 100 / 2 = 5050 을 연산하는 공식과 동일합니다. 

등차수열은 프로그래밍을 배우는 학생들에게 규칙을 찾는 연습으로 필수요소입니다.

 

1. 1,6,11,16,.... 인 등차 수열에서 20번째 항을 구하여 숫자만 입력하세요.

문제풀이)

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첫항은 1

공차(d)는 5

20번째 항은 1 + 19 * 5 = 96

 

2. 2,5,8,11,14... 인 등차수열에서 47은 몇번째 항의 수입니까?

문제풀이)

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첫항은 2이고 공차는 3 입니다.

n번째 항을 구하기 위해서는

첫항 2 + (n-1) * 3 = 47 이므로

(n-1) * 3 = 45

n-1 = 15 이므로

n은 16입니다.

3. 어떤 등차수열의 네번째 항은 21, 여섯번째 항은 33일때 여덟번째 항을 구하여 숫자만 입력하세요.

문제풀이)

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4번째 항과 여섯번째 항의 2항의 차이는 12 입니다.

따라서 공차(d) = 6 입니다.

초항은 네번째 항이 21이므로 21 - 18 이므로 3입니다.

 

여덟번째 항의 값은 3 + 7 * 6 = 45 입니다.

4. 1+ 5 + 9 + 13 + .... + 2009 를 계산하시오.

문제풀이)

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1+ 5 + 9 + 13 + .... + 2009 = (1 + 2009) * 항의갯수 /2 입니다.

여기서 항의 갯수는 1 부터 2009 까지 공차(d) = 4 이므로 4로 나누어 보면 502 가 됩니다.

여기서 1부터 시작 하므로 항의 갯수는 503개입니다.

따라서 2010 * 503 / 2 = 505515

5. 어떤 건축 용지에 벽돌이 쌓여져 있습니다. 벽돌은 아래 그림과 같이 쌓여 있으며 가장 위층에는 벽돌이 2장 있고 두번째 층에는 6장 있으며 세번째 층에는 10장, ... 이 있습니다. 순서에 따라 매 층에는 모두 바로 위의 층보다 4장이 더 많습니다. 가장 아래층에 2106장의 벽돌이 있다면 가운데 층에는 적어도 몇 장의 벽돌이 있어야 합니까? 또한 쌓여 있는 벽돌은 모두 몇장입니까?

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초항은 2 공차는 4 인 등차수열이므로

마지막 항이 2106 이므로

2 + (n-1) * 4 = 2106

(n-1)*4 = 2104

(n-1) = 526

n = 527

 

따라서 등차수열의 합의 공식을 이용하여

(2+2106) * 527 / 2 = 555458

6. 1부터 2000까지의 자연수에서 모든 짝수들의 합과 모든 홀수들의 합의 차를 구하여 숫자만 입력하세요.

 

문제풀이)

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(2+4+....+2000) - (1 + 3+...+1999)

여기서 짝수의 항의 갯수는 1000개

홀수의 항의 갯수는 1000개 입니다.

따라서 짝수의 합은 (2+2000) * 1000 / 2 = 1001000

홀수의 합은 (1 + 1999) * 1000 / 2 = 1000000

따라서 1000

 

다른 방법으로는 2와 1을 한쌍으로생각하면 2-1 = 1 이 되며 이 갯수는 1000개 가 되기때문에 1000 으로 계산할수도 있다.

7. 연속된 9개의 자연수의 합이 54일때 이 9개의 자연수의 마지막 항을 첫항으로 하고 그 첫항으로부터 9개의 연속된 자연수의 합은 얼마입니까? 숫자만 입력하세요.

문제풀이)

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54/9 = 6 이므로 가운데 수는 6입니다.

따라서 2,3,4,5,6,7,8,9,10 이므로 초항은 2가 되고 마지막 항은 10입니다.

따라서 10 부터 9개의 합을 구하면 마지막 항이 18이 되는 등차수열의 합이 됩니다.

(10 + 18) * 9 / 2 = 126

8. 100개 연속된 자연수(작은수에서 큰수의 순서)의 합은 8450이며 그 중 첫번째, 세번째, 다섯번째,....,99번째 수를 꺼내고 남은 나머지 50개의 수를 더한 값은 얼마입니까? 숫자만 입력하세요.

문제풀이)

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100개 연속된 자연수는 등차수열이고 그 합이 8450 이므로 (초항 + 마지막항) * 100 / 2 = 8450 

(초항+마지막항) = 8450 * 2 /100 = 169

마지막항은 첫항보다 99 크기 때문에 초항은 (169 - 99) / 2 = 35

따라서 홀수번째 항을 꺼내고 남은 50개의 수는

36,38,.... 134 가 된다.

이 수들의 합은 (36 + 134) * 50 / 2 = 4250 

9. 210을 분해 하면 7개의 자연수의 합으로 만들 수 있습니다. 이 7개의 자연수를 작은 수부터 큰 수의 순서로 한 줄로 배열하면 공차는 모두 5입니다. 이때 첫번째 수와 여섯번째 수의 합은 얼마입니까?

 

문제풀이)

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210을 분해하여 7개의 수로 등차수열을 구성할때 가운데 수는 210 /7 = 30 이고 공차는 5이므로 7개의 수는 15,20,25,30,35,40,45 입니다.

따라서 초항은 15이고 여섯번째 항은 40입니다.

 

두 수의 합은 55입니다.

10. 27개의 바둑돌을 7개의 상자에 넣을 때, 빈상자는 없고 임의의 두 상자에 있는 바둑돌 수는 다르다고 합니다. 이렇게 넣을 수 있습니까?

문제풀이)

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7개의 상자에 비어있는 상자는 없기 때문에 1개 이상을 넣어야 합니다.

따라서 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 입니다.

이렇게 서로 다른 갯수를 넣기 위해서는 최소 28개가 필요합니다.

11. 1부터 50까지 연속된 자연수 중 두 수를 골라 서로 더하면 그 수가 50보다 커야 합니다. 이렇게 되는 경우는 적어도 몇가지 있습니까?(숫자만 입력하세요.)

문제풀이)

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조건에 맞는 두 수를 a,b라고 하고 a<b 라고 합니다.

a= 1 일때 b = 50 입니다.(1가지)

a= 2 일때 b= 50,49 입니다.(2가지)

a= 3 일때 b= 50,49,48 입니다.(3가지)

....

a = 25일때 b= 50,49....26 입니다. (25가지)

a = 26 일때 b = 50,49....27 입니다. (24가지) ==> a < b 이어야 하는 조건으로 여기서 부터 줄어 드는 것에 주의 해야 합니다.

...

a = 49 일때 b = 50 입니다.(1가지)

따라서 가능한 경우의 수는 1부터 25까지의 합 + 1부터 24까지의 합 = 625 입니다.

12. x + y + z = 2009 를 만족하는 양의 정수해는 몇가지입니까? 숫자만 입력하세요.

 

문제풀이)

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x=2007 일때 y+z = 2 인 경우 y =  z = 1 인 1가지

x=2006 일때 y+z = 3 인 경우 2가지

x=2005 일때 y+z = 4 인 경우 3가지

....

x = 1 일때 y + z = 2008 인 경우 2007 가지

따라서 1부터 2007 까지의 합

(1+2007) * 2007 / 2 = 2015028

13. 자연수를 다음과 같이 배열하는 경우 이 배열이 3은 2번째줄 1번째에 있으며 13은 3번째 줄 3번째에 있습니다. 그렇다면 8번째 줄 56번째에 있는 수는 어떤 수인지 숫자만 입력하세요.13. 자연수를 다음과 같이 배열하는 경우 이 배열이 3은 2번째줄 1번째에 있으며 13은 3번째 줄 3번째에 있습니다. 그렇다면 2009는 몇번째줄 몇번째에 있습니까([번째줄][번째] 형식으로 입력하세요. 예 1번째줄 1번째 라면 [1][1] 과 같이 입력)

문제풀이)

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대각선의 갯수를 생각하면 1,2,3,4 씩 늘어 나는 것을 알수 있다.

따라서 2009 가 n번째항에 속해 있다면

1부터 n-1 까지의 합 < 2009 <= 1부터 n까지의 합 이라는 것을 확인 할 수 있다.

(1+n-1) * (n-1)/2 < 2009 <= (1+n)*n/2

이므로

n^2-n < 4018 <= n^2 + n

이라는 것을 알 수 있고 여기에 수를 대입해 보면 n = 63 이라는 것을 알 수 있다.

따라서 62번째 대각선 까지의 합을 구해 보면 (1+62)*62/2 = 1953 이므로 62번째 마지막이 1953 인것을 알수 있다.

2009는 63번째 시작 위치로 부터 2009 - 1953 = 56 번째 수이다.

 

또한 63번째 시작은 왼쪽 아래 63번째 줄부터 시작해서 우상 방향으로 올라가는 방향인 것을 알수 있다.

따라서 행의 위치는 63 - 56 = 7 이지만 여기서 4를 생각해 보면 3번째 행 1번째 데이터가 3번째라는 것을 확인해 보면 8행이라는 것을 알 수 있다.

그리고 56번째 열의 위치인것을 알수 있다. 1번째 데이터가 1번째 열이기 때문에

따라서 정답은 [8][56]

 

[역대 기출문제유형]

수열을 응용한 문제는 규칙을 찾는 문제 유형으로 역대 기출문제 유형중에 가장 많이 출제 되고 있다.

https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSe7NIav6s_wtBaV6mLMj212OYQ8hZ4dWjiPf-KIa2z6aBU6uQ/viewform

 

2-1. 수열을 응용한 문제(초등부)

 

docs.google.com

https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdX3KdPOsdM86J_1-8UQfB7AgJUHpvPzKF-uN6RZxeuTNdlsw/viewform

 

2-2. 수열을 응용한 문제(초등부)

 

docs.google.com

https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeLbdOS5Ihqdw5LBrRDbykNGLoLmTp25pjr9bLT04-7e3uSQw/viewform

 

2-3. 수열을 응용한 문제(초등부)

 

docs.google.com

https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdZVeqHqKxYVmFxDz96nsUo20z-C_pafu-CRkrd8cuKHKfZKQ/viewform

 

2-4. 수열을 응용한 문제(중등부)

 

docs.google.com

https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdSWBbB8b8gJJAW8mJXD0vYcYsbqpMC2IlweYGKWvuj04dqPQ/viewform

 

2-5. 수열을 응용한 문제(중등부)

 

docs.google.com

 

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