[정보올림피아드 대비]20. 저울을 이용한 문제

저울 문제란? 일명 천칭문제라고도 불리우는 양팔저울 혹은 전자저울을 이용하여 문제를 풀어나가는 문제를 의미한다. 전자 저울은 무게를 수치로 정확하게 잴 수 있지만 대개 1번 등의 매우 적은 횟수로만 무게를 판별하라고 한다. 또 무게를 비교하는 용도로는 양팔 저울에 비해 약간의 응용이 필요한 문제들이 출제되고 있다. 양팔 저울은 무게를 수치로 정확하게 잴 수 없는 대신 횟수는 3번 정도는 주어지는 편이다. 무게의 상대적 가벼움과 무거움을 재는 데에는 유리하지만 수치적으로 나열하기는 어렵다는 특징이 있다. 저울 관련한 유형은 최적화의 개념이나 부등식의 성질을 이해하여 해결하는 문제로 교과나 경시에서 관련 문제가 자주 출제 된다.

문제1)

크기와 모양이 같은 공 11개가 있다. 이 공들 중 무게가 다른 공은 1개이다. 양팔 저울을 최소 몇번 사용해야 무게가 다른공 하나를 가려 낼 수 있는가?

 

문제풀이)

여기서 무게가 다른 공 1개의 무게가 무거운지 가벼운지를 알수가 없다는 것이 이 문제의 핵심이다.

11개의 공에 1부터 11까지 번호를 붙여서

1,2,3,4/5,6,7,8 의 공을 쟀을때 같다고 하면 9,10,11 세개의 공에 무게가 다른 것이 있다. -(1)

만약 서로 다르다면 1,2,3,4,5,6,7,8 8개의 공에 무게가 다른것이 있다. -(2)

(1) 과 같은 경우에는 1부터 8 까지가 정상이므로 9,10/1,2 를 쟀을때 같으면 11번 공이 무게가 다른 공이다.

만약 무게가 서로 다르다면 9,10이 더 무겁다면 무게가 다른 공이 무겁 다는 것을 알 수 있으므로 9와 10을 재면 3번만에 잴 수 있다.

(2) 와 같은 경우에는

1,2,3,4 가 5,6,7,8 보다 무겁다고 가정한다.

1,2,5/3,6,9 를 재 본다.(9번공은 정상)

만약 두개가 같다면 4,7,8 중에 무게가 다른 공이 있다 -(3)

만약 1,2,5 가 무게가 무겁다면 1,2,6 중에 무게가 다른 공이 있다(위치가 변경되지 않은 공은 1,2,6이다.) -(4)

만약 3,6,9 가 무게가 무겁다면 5,3 중에 무게가 다른 공이 있다.( 이때는 5와 9의 공 무게를 재면 무게가 다른 공을 찾을 수 있다. - 3번)

(3) 과 같은 경우는

4,7,8 중에 무게가 다른 공이 있는데 4는 무거운쪽 7,8은 가벼운쪽에 있던 공이다. 따라서 7,8을 재서 서로 같다면 4가 무게가 다른 공이고 서로 다르다면 가벼운 공이 무게가 다른공이다.(여기서 7,8이 가벼운쪽에 있었기 때문에 4는 정상인 무게이므로 둘 중 가벼운 것이 무게가 다른공) - 3번 만에 찾는다.

(4) 와 같은 경우는

1,2,6 중에 무게가 다른 공이 있는데 1,2 는 무게가 무거운쪽에 있던 공이다. 따라서 1과 2를 재서 같으면 6이 무게가 다른 공이고 서로 다르다면 무거운 공이 서로 다른 공이다. - 3번 만에 찾는다.

 

정답) 3번

문제2)

9개의 열쇠가 있는데 이중에 모양과 크기,무게가 같은 8개의 열쇠와 모양과 크기는 같지만 무게가 가벼운 비규격품 1개의 열쇠가 있습니다. 여기서 비규격품의 열쇠를 양팔 저울을 이용하여 찾으려고 합니다. 최소 몇 번만에 찾을 수 있습니까?

 

문제풀이)

여기서는 비규격품의 열쇠의 무게가 가볍다는 것을 알 수 있습니다.

각 열쇠에 1~9 까지 번호를 매기면

1,2,3/4,5,6 을 쟀을때 같으면 7,8,9 에 있다는 것을 알 수 있고

서로 다르다면 가벼운 쪽에 있다는 것을 알 수 있습니다.

세개 중에서 가벼운 열쇠를 찾는 것은 1번이면 확인 할 수 있습니다.

가령 1,2,3 이 가벼워서 여기서 가벼운 열쇠를 찾는 방법은 1/2 를 쟀을때 같으면 3 만약 다르면 가벼운쪽이 비규격품입니다.

 

따라서 2번이면 비규격품을 찾을 수 있습니다.

 

정답) 2번

문제3)

코끼리 한마리와 사슴 3마리의 무게가 같습니다.

사슴 한마리와 염소 2마리의 무게가 같습니다.

그렇다면 코끼리 한마리와 사슴 한마리의 무게는 염소 몇마리의 무게와 같습니까?

(단 같은 종류의 동물은 무게가 동일하다고 가정합니다.)

 

문제풀이)

코끼리 1마리 = 사슴 3마리

사슴 1마리 = 염소 2마리

코끼리 1마리 = 염소 6마리

코끼리 1마리 + 사슴 1마리 = 염소 6마리 + 염소2마리  이므로

염소 8마리와 동일합니다.

 

정답) 8마리

 

문제4)

하나의 양팔 저울을 이용하여 물건의 무게를 측정하려고 한다. 이 저울의 양 팔의 끝에는 물건이나 추를 올려 놓는 접시가 달려 있고, 양팔의 길이는 같다. 또한 저울의 한쪽에는 저울추들만 놓을 수 있고, 다른쪽에는 무게를 측정하려는 물건만 올려 놓을 수 있다.

다음과 같이 추의 무게가 3g,1g,6g,2g,7g,30g,1g 이렇게 7개의 추가 있을때 어떤 물건의 무게를 잴 수 없는 최소값은 얼마인가?

5g 짜리 물건인지 아닌지 판단하는 방법은 물건 + 1g추 / 6g추 와 같은 방법으로는 확인 할 수 없고 물건 / 3g추 + 1g추 + 1g 추 , 혹은 물건 / 3g + 2g 과 같은 방법으로만  확인 할 수 있다.

 

문제풀이)

이 문제의 핵심은 5g 물건을 재는데 1g + 물건 과 6g 추의 무게를 잴 수 없다는 부분에 있다.

따라서 물건은 추의 무게의 합을 이용하여 구할 수 있다.

가령 1g,4g 의 추가 있다고 하면 5g 물건과 3g 물건을 확인 할 수 있다는 점이다.

 

추의 무게를 작은 것부터 나열 해 보면 1,1,2,3,6,7,30 이다.

 

이것을 표를 이용해 그려 보면 0g은 항생 잴 수 있으므로

0g	1g	2g	3g	4g	5g	6g	7g	8g	9g
0	1	2	3	3+1	3+2	6	7	7+1	7+2

 

10g	11g	12g	13g	14g	15g	16g	17g	18g	19g
7 + 3	7+3+1	7+3+2	7+6	7+6+1	7+6+2	7+6+3	7+6+3+1	7+6+3+2	7+6+3+2 +1

 

20g	21g	22g	23g	24g	25g	26g	27g	28g	29g
7+6+3+2 +1 +1

21g을 잴 수 있는 방법은 없다.

따라서 21g

 

한쪽에만 저울추를 올릴 수 있기 때문에 저울추의 합을 이용하여 해결할 수 있다.

추의 무게를 가벼운 것 부터 정렬 한 뒤에~

저울추가 1g 짜리가 들어 오면 1g 까지의 물건을 잴 수 있다.

저울추가 1g 짜리가 더 들어 오면 2g 까지의 물건을 잴 수 있다.

저울추가 2g 짜리가 더 들어 오면 4g 까지의 물건을 잴 수 있다.

저울추가 5g 짜리가 더 들어 오면 9g 까지의 물건을 잴 수 있다.(0g + 5g = 5g을 잴 수 있고 그 이전에 1g~4g 까지의 추를 잴 수 있었으므로 그 위에 5g 을 얺으면 9g 까지의 추를 잴 수 있는 원리이다.)

그 다음 저울추가 11g 짜리가 들어 온다면 10g 짜리 물건은 잴 수가 없게 된다.

따라서 추의 무게를 합하면서 그 다음 저울추의 무게가 기존에 합한것 보다 1큰것보다 작거나 같은 저울추가 오는 경우에 계속해서 잴 수 있는 것이다.

 

따라서 위의 문제는 1+1+2+3+6+7 = 20 인데 그 다음 나오는 추가 30이므로 21을 잴 수가 없게 되는것이다.

 

 

문제5)

9개의 금화주머니가 있고 그 안에는 2g의 금화들이 들어있다. 그런데 가짜 금화 주머니 1개의 주머니는 1g의 금화들이 들어 있다. 이때 전자저울을 이용해서 가짜 금화 주머니를 찾아 내려고 한다. 최소 몇번만에 가짜 주머니를 찾아 낼 수 있을까?

문제풀이)

9개의 금화 주머니에 1번부터 9번까지 번호를 매깁니다.

여기서 각 번호에 해당하는 금화 만큼의 갯수를 꺼냅니다.

1번 주머니에서는 1개, 2번주머니에서는 2개... 9번 주머니에서는 9개 

이렇게 꺼내서 전자 저울에 재면 모든 금화가 정상이라고 하면 1+2+...+9 = 45(개) * 2g = 90g 의 무게가 나와야 합니다.

하지만 가짜 금화는 1g 이라고 하였으니 1g 의 갯수만큼 무게가 부족합니다. 가령 9번 주머니 금화가 가짜라면 81g 이 될것입니다.

따라서 한번만 재서 가짜 금화를 찾을 수 있습니다.

문제6)

똑같이 생긴 공 여섯개가 있는데 하나만 무게가 다릅니다. 전자저울을 사용해서 최소 몇번만에 어떤 공이 가짜 공인지 그리고 가짜공의 무게가 무거운지 가벼운지를 찾을 수 있습니까?

문제풀이)

6개의 공에 1번부터 6번까지 번호를 매깁니다.

1) 1,2,3,4 의 무게를 측정합니다.

2) 3,4,5 의 무게를 측정합니다.

1) 의 무게와 2)의 무게가 4:3 이라고 하면 6번공이 가짜공이므로 6번공의 무게를 잰다면 6번공의 무게를 알 수 있습니다 - 3번

4:3이 아니라고 하면 6번공은 정상공

3) 2,3 의 무게를 측정합니다.

1)의 무게와 3)의 무게가 4 : 2 즉 2 : 1 이라고 하면 1,2,3,4 는 정상공이므로 5번공이 가짜 공인 것을 알 수 있습니다. 따라서 1,2,3,4 의 무게를 4등분하면 정상 공의 무게를 알 수 있으므로 5번 공의 무게를 알 수 있습니다. - 3번

만약 2 : 1 이 아니라고 하면

2)의 무게와 3)의 무게의 비율이 3 : 2 라고 하면 2,3,4,5 는 정상이기 때문에 1번공이 가짜 공인 것을 알 수 있습니다. 이때 역시 1번공의 무게를 알 수 있습니다. - 3번

만약 3:2 가 아니라면 1,5,6 이 정상인것을 확인 할 수 있습니다.

따라서 1번과 5번 공의 무게는 같으므로

1)의 무게에서 2)의 무게를 빼면 2의 무게가 되는 것을 알 수 있습니다. 

이렇게 2의 무게를 측정 후 3) 의 무게에서 2의 무게를 빼면 3의 무게를 알 수 있습니다.

이렇게 구해서 2와 3의 무게가 같다면 1,2,3,5,6 이 정상공인것을 알 수 있고 이때는 4번공이 가짜공인것을 알 수 있습니다.

만약 다르다면 4번공은 정상이 됩니다.

따라서 

2)의 무게에서 3의 무게를 빼면 4 와 5의 무게를 알 수 있습니다. 이때 3의 무게의 배수라면 2가 가짜공이되고 2의 배수가 아니라면 3이 가짜공이 됩니다.

따라서 전자저울은 최소 3번만으로 확인을 할 수 있습니다.

문제7)

쇠구슬이 2000개 이상 들어 있는 상자가 10개 있다. 9개의 상자에는 쇠구슬의 무게가 전부 100g 이지만 불량품이 들어 있는 상자 하나에는 다른것보다 1g 더 무거운 구슬이 들어가 있다(단, 이 상자의 구슬은 모든 구슬이 다 1g 무겁다) 전자저울을 사용해서 불량상자를 찾아내려고 할때 몇번만에 찾아 낼 수 있는가?

문제풀이)

상자에 1번부터 10번까지 번호를 매기고

각 번호의 숫자만큼 구슬의 갯수를 꺼내서 전자저울에 올리면 모든 구슬이 다 정상이라면 5500g 이 될것이다.

하지만 불량품의 갯수만큼 더 큰 숫자의 g이 증가 될것이다. 가령 1번 상자가 불량품 상자라면 5501g 일것이다.

정답) 1번

문제8)

쇠구슬이 2000개 이상 들어 있는 상자가 10개 있다. 쇠구슬의 불량품이 들어 있는 상자는 앞의 문제와 동일하다. 그런데 이번에는 불량품이 들어있는 상자가 1개 이상이다. 불량품이 들어 있는 상자를 가려내려면 이번에는 전자저울을 몇번 써야 할까?

문제풀이)

이번에도 전자저울을 1번만 쓰면 된다.

하지만 이번에는 전자저울을 잴때 좀 더 복잡한 방법으로 꺼내야 한다.

1번 상자에서는 1개

2번 상자에서는 2개

3번 상자에서는 4개

4번 상자에서는 8개

...

이런식으로 2의 제곱으로 구슬을 꺼낸다.

무게를 측정했을때 그 차이가 3 이라고 하면 1번 상자와 2번상자이다.

만약 30g 의 차이가 난다면 16 + 8 + 4 + 2 = 30 이므로 2,3,4,5번 상자의 구슬이 불량품인것을 알 수 있다.

문제9)

9개의 추가 있다. 다른 8개의 추는 무게가 같지만 하나의 추는 무게가 가볍다. 이때 최소 몇번만에 가벼운 추를 찾아낼 수 있을까?

문제풀이)

9개의 추에 1부터 9까지 번호를 매기자.

1,2,3/4,5,6 을 재면 같으면 7,8,9 에 가벼운 추가 있는 것이고 아니라면 가벼운 쪽에 추가 있는 것이다.

가벼운 추가 1,2,3 에 있다고 가정하면

1과 2를 재면 같은지 아닌지로 가벼운 추를 찾아 낼 수 있다.

정답) 2번

 

 

[역대 기출문제]

docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLScsQfEUI54-Il3ujpBNHSZZf2MfRBT1W2RrdO0M5vd8yQT1cQ/viewform

21-1. 저울을 이용한 문제