[정보올림피아드 대비]19. 방정식을 활용한 문제

방정식이란? 기본적인 연산을 할 때 구체적인 수들을 볼 수 있어요. 가령 23 + 5 = 28 과 같이 계산이 되는 것을 볼 수 있습니다. 대수의 세계로 들어가면서 변수라는 개념을 다루게 됩니다. 변수란 바뀔 수 있는 값이나 식을 의미합니다. 예를 들어 x + 5 라고 쓴다고 하면 x 의 값에 따라 결과값은 달라 집니다. 이러한 것은 하나의 식이라고 합니다. 여기서 식과 방정식의 차이를 확인해 보겠습니다. 식은 단지 어떤 값을 나타내는 표현입니다. 예를들어 x + 5 라는 식은 x의 값에 따라 결과값이 바뀔것입니다. 방정식의 경우는 식이 서로 같다고 가정하고 시작합니다. 예를 들어 x + 5 = 10 이라고 하면 한개의 값을 모르는 상황에서 x의 값을 알아낼 수 있습니다. 이렇게 미지수가 포함된 식에서 그 미지수에 특정한 값을 주었을때 성립하는 등식을 방정식이라고 합니다.

문제1) 

갑,을 두 수가 있습니다. 갑을 을로 나누면 몫은 2이고 나머지는 17입니다. 을의 10배를 갑으로 나누면 몫은 3이고 나머지는 45입니다. 갑,을 두 수를 구하시오.

 

문제풀이)

을을 x라고 하면 갑은 2x + 17 입니다.

10x = 3(2x+17) + 45 가 됩니다.

이것을 풀면

10x = 6x + 51 + 45

4x = 96

x = 24

따라서 갑 65,을 24

문제2)

선풍기 공장에서는 20일에 선풍기 1600대를 생산하려고 계획하였습니다. 5일간 생산한 후 기술을 개선하여 생산효율을 25프로 향상시켰습니다. 이 계획을 완성하는데 총 몇일이 걸립니까?

 

문제풀이)

원래 작업효율 1일 : 1600 / 20 = 80

5일간 작업량 : 80 * 5 = 400

남은 양 : 1200

25프로 향상된 효율 1일 : 80 * 1.25 = 100

따라서 100 * x = 1200

x = 12

12일 후에 완료 되므로 5일간 작업한 것을 계산하므로

총 17일에 생산 완료 됨

문제3)

어떤 일을 갑이 혼자 완성하면 12일이 걸리고, 병이 혼자 완성하면 20일이 걸립니다. 또한 갑,을,병이 함께 작업하여 완성하면 5일 걸립니다. 만약 이 일을 을이 혼자 한다면 며칠 걸립니까?

 

문제풀이)

갑이 하루에 일하는 양 : 1/12

병이 하루에 일하는 양 : 1/20

갑 + 을 + 병 이 하루에 일하는 양 : 1/5

따라서

1/12 + x + 1/20 = 1/5

5/60 + x + 3/60 = 12/60

x = 4/60 = 1/15

따라서 을이 혼자서 일을 한다면 15일이 걸립니다.

문제4)

초등학교 수학경시대회에 어떤 학교 6학년 1,2,3,...,10 반의 학생이 380~450명 참가하였습니다.

그 결과 전체 학생의 평균성적은 76점이고, 남,여학생의 평균성적은 각각 79점과 71점입니다.

남,여학생이 적어도 각각 몇명씩 참가하였습니까?

 

문제풀이)

남학생 x명, 여학생 y명 이라고 하면 총점은 (x+y) * 76

이것은 79x + 71y 와 같은 값이 됩니다.

따라서 79x + 71y = 76x + 76y 이므로 3x = 5y 

따라서 x : y = 5 : 3 이 됩니다.

380명~450명 사이 중에 8의 배수가 되는 가장 작은 수는 384명입니다.

이때 x = 384 * 5/8 = 240

y = 384 * 3/8 = 144

 

남학생 240명

여학생 144명

문제5)

병에 농도가 15프로인 알코올이 1000g 있습니다. 또 병에 100g과 400g의 A,B 두가지 알코올을 부어 병의 알코올의 농도가 14프로가 되었습니다. A알코올 농도는 B알코올 농도의 2배일때 A알코올의 농도는 얼마입니까?

 

문제풀이)

B 병의 알코올 농도가 x프로라면 A병의 알코올 농도는 2x 입니다.

두 개의 병을 1000g 의 병에 부었다면 총량은 1500g 이 됩니다.

알코올의 양은 1000g * 0.15 + 100 * 2x + 400 * x 이므로

알코올의 비율은 알코올양/총량 = 0.14 이므로

150 + 600x = 1500 * 0.14

600x = 210 - 150 

x = 60/600 = 0.1(10프로)

 

따라서 A 알코올의 농도는 20프로

문제6)

한 사람이 차로 쌀을 A에서 B로 운반합니다. 쌀을 싣는 차는 하루에 50km를 달리고 쌀을 싣지 않는 빈 차는 하루에 70km를 달리고 5일에 3번 왕복합니다. A와 B 사이의 거리는 얼마입니까?

 

문제풀이)

A에서 B로 가는 거리 : x

A에서 B로 쌀을 싣고 가는 시간 : x / 50

B에서 A로 빈차로 이동하는 시간 : x / 70

 

따라서 왕복하는 시간 : x/50 + x/70 = 7x/350 + 5x/350 = 12x/350

3번 왕복하는 시간은 5일이므로 (12x/350) * 3 = 5

36x = 1750

x = 1750/36(km)

문제7)

3년 후 두 형제의 나이의 합은 26살입니다. 올해 동생의 나이는 두 형제의 나이의 차의 2배입니다. 3년 후 두 형제는 각각 몇살입니까?

 

문제풀이)

현재 동생의 나이 : x 

현재 형의 나이 : y

x = (y-x) * 2

y = 3x/2 ---(1)

현재 동생과 형의 나이의 합은 20살(26살에서 두명이 3살씩 증가 되었으므로 합은 6이 감소)

x + y = 20 ---(2)

(2) 식에 (1)식을 대입하면

x + 3x/2 = 20

5x = 40 

x= 8

현재 동생의 나이 : 8

현재 형의 나이 : 12

따라서 3년 후의 동생의 나이 : 11, 형의 나이 : 15

 

 

 

 

 

[역대 기출문제]

docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfS8wv_7L_wtpDvXLRPdCr_11d9gLn_Y1nvFegb58bUikJ5ZA/viewform

20-1.방정식을 활용한 문제(초등부)

docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfsRkTPSj2wQtJhjNGq9Bq4-59Dh85uTN6u-dm9SMQuY94lKQ/viewform

20-2.방정식을 활용한 문제(중고등부)