[정보올림피아드 대비]17.진수를 활용한문제(2진수,10진수,16진수등)

1. n진법

n진법이란 0과 n-1 사이의 숫자들을 이용해 수를 표현하는 방식입니다.

즉 우리가 사용하는 10진법은 0~9까지의 수를 사용하며 컴퓨터가 사용하는 2진법은 0~1 까지의 수를 사용합니다.

n진법을 사용한다면 n을 기수(Base Number) 라고 합니다.

기수표기 예)

10진수 1234 : 1234₍₁₀₎

2진수 1010 : 1010₍₂₎

 

_{2. 10진수(Decimal Number)}

10진수는 기수를 10으로 하는 수 체계이며 0과 9 사이의 숫자를 이용해 수를 표현합니다.

또한 10진수는 정수 1234 에 대해 다음과 같이 표현 할 수 있습니다.

1234₍₁₀₎ = 1*10³ + 2*10² + 3*10¹ + 4*10⁰

즉 오른쪽 부터 왼쪽으로 기수의 0승 , 기수의 1승 ,기수의 2승 자리와 같이 표현하며 각 숫자에 해당 값을 곱한 후 더한 값이 원래 숫자를 의미합니다.

 

3. 2진수(Binary Number)

2진수는 기수를 2로 하는 수 체계이며 0과 1 사이의 숫자를 이용해 수를 표현합니다.

또한 2진수 1010에 대해 다음과 같이 표현 할 수 있습니다.

1010₍₂₎ = 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ = 1*8 + 0*4 + 1*2 + 0*1 = 10₍₁₀₎

마찬가지로 오른쪽부터 왼쪽으로 기수의 0승,기수의 1승,기수의 2승 자리와 같이 표현하며 각 숫자에 해당 값을 곱한 후 더한 값이 원래 숫자를 의미합니다.

 

4. 8진수(Octal Number)

8진수는 기수를 8로 하는 수 체계이며 0과 7 사이의 숫자를 이용해 수를 표현합니다.

또한 8진수 1234에 대해 다음과 같이 표현 할 수 있습니다.

1234₍₈₎ = 1*8³ + 2*8² + 3*8¹ + 4*8⁰

= 1*512 + 2*64 + 3*8 + 4*1 = 668₍₁₀₎

마찬가지로 오른쪽부터 왼쪽으로 기수의 0승,기수의 1승,기수의 2승 자리와 같이 표현하며 각 숫자에 해당 값을 곱한 후 더한 값이 원래 숫자를 의미합니다.

 

5. 16진수(Hexadecimal Number)

기수를 15으로 하는 수 체계이며 0~9와 A(10)부터 F(15) 사이의 숫자를 이용해 수를 표현합니다.

또한 16진수 1F2D에 대해 다음과 같이 표현 할 수 있습니다.

1F2D₍₁₆₎ = 1*16³ + F*16² + 2*16¹ + D*16⁰ = 1* 4096 + F(15)* 256 + 2*16 + D(13) * 1 = 7981₍₁₀₎

마찬가지로 오른쪽부터 왼쪽으로 기수의 0승,기수의 1승,기수의 2승 자리와 같이 표현하며 각 숫자에 해당 값을 곱한 후 더한 값이 원래 숫자를 의미합니다.

 

6. 진법별 사칙연산

• 사칙 연산의 기본원리는 진법에 상관이 없습니다. 덧셈에서 10진수에서 10을 넘어 가는 경우 자신은 0~9 사이의 값을 남기고 10으로 나눈 몫이 올림이 되는 것과 같이 해당 진수로 나눈 나머지가 자신의 자리에 남고 몫이 앞의 자리에 올림이 됩니다.
• 뺄셈의 빌림 수는 10진수 에서 10을 빌려 온다면 2진수는 2,16진수는 16을 빌려옵니다.

다음 2진수를 연산하는 방법을 살펴 봅니다.

문제풀이)

 

7. 10진수 -> 2진수/8진수/16진수

• 정수부 : 변환하려는 기수로 몫이 0이 될 때까지 나누면서 나오는 나머지를 나열
• 실수부 : 소수부가 0이 될 때까지 변환하려는 기수로 곱함

예) 163.875(10) => 2진수 변환

예) 163.875(10) => 8진수 변환

예) 163.875(10) => 16진수 변환

 

8. 2진수와 8진수 간의 변환

• 8진수는 0과 7 사이의 숫자로 수를 표현하는 진법
• 8진수 한자리를 2진수로 표현하는 데는 3비트가 필요함(7₍₈₎ -> 111₍₂₎)
• 2진수를 8진수로 변환할 때는 2진수를 소수점 기준으로 3비트씩 나누고 각 3비트 블록을 10진수로 변환
• 8진수를 2진수로 변환할 때는 8진수의 각 자리를 3비트의 2진수로 변환

예) 11100101.01001111₍₂₎ 를 8진수로 변환하는 과정

소수점을 기준으로 정수부와 실수부를 별개로 3비트 단위의 블록으로 만들자.

11	100	101	.	010	011	11

그 다음 각각의 값에 따라 10진수로 변환하면 각 갑은 0~7 사이의 값으로 나타난다.

11	100	101	.	010	011	11
3	4	5	.	2	3	6

따라서 11100101.01001111₍₂₎ = 345.236₍₈₎ 

 

예) 345.236₍₈₎ 을 2진수로 변환하는 과정

3	4	5	.	2	3	6
011	100	101	.	010	011	110

따라서 345.236₍₈₎  = 11100101.01001111₍₂₎

_{9. 2진수와 16진수 간의 변환}

• 16진수는 0~9와 A(10)에서 F(15)까지를 사용하여 수를 표현하는 진법
• 16진수 한자리를 2진수로 표현하는데에 4비트가 필요(F₍₁₆₎ -> 1111₍₂₎)
• 2진수를 16진수로 변환할 때는 2진수를 소수점을 기준으로 4비트씩 나누고, 각 4비트 블록을 10진수로 변환
• 16진수를 2진수로 변환할 때는 16진수의 각 자리를 4비트의 2진수로 변환

예) 11100101.01001111₍₂₎ 를 16진수로 변환하는 과정

1110	0101	.	0100	1111

소수점을 기준으로 정수부와 실수부로 변환 한 다음 4비트씩 분리 한 다음 각 4비트씩을 16진수로 변환하면 된다.

1110	0101	.	0100	1111
E(14)	5	.	4	F(15)

11100101.01001111₍₂₎ = E5.4F₍₁₆₎

예) E5.4F(16) 를 2진수로 변환하는 과정

E	5	.	4	F
1110	0101	.	0100	1111

 

[정보올림피아드 기출문제 유형]

https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfy_a92YCgvV7ewfeOE-xCv5Np_VdLmpWl81kYPy5nt-8Clmg/viewform

18-1.진수를 활용한 문제(2진수,10진수,16진수등)초등부

https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLScDTEL8mVikBcAP9nh4x1NzQT3elvf_EElPt9jUuxQ6QT7PHw/viewform

18-2.진수를 활용한 문제(2진수,10진수,16진수등)중고등부

 

 

자료 출처]

한빛미디어 - 컴퓨팅 사고력을 키우는 이산수학