[사고력 수학]등차수열의 원리를 이용한 삼각형 개수 세기

등차수열의 원리를 이용한 도형 개수 세기

수학 문제에서 도형의 개수를 세는 유형의 문제가 자주 출제 되는데 도형의 개수를 세는 문제도 규칙성이 있다.

이러한 규칙성을 찾아 내여 문제 풀이에 적용한다면 계산이 훨씬 간단해 질 수 있다.

 

1) 삼각형의 개수 세기

위의 도형에서 삼각형의 개수가 몇 개인지 세어 보자.

먼저 삼각형 1개 포함한 삼각형은 5, 2개 포함한 삼각형은 4, 3개 포함한 삼각형은 3,4개 포함한 삼각형은 2, 5개 포함한 삼각형은 1 이므로 1+2+3+4+5=15 이다.

여기서 삼각형의 개수를 셀 때 다음과 같은 규칙성을 가진 수열을 만나게 된다.

5->4->3->2->1 즉 초항은 5이고 공차는 -1 인 등차수열이다.

이 때 삼각형의 개수를 셀 때 아래의 선에서 선분의 개수를 세는 것과 동일함을 발견할 수 있다.

 

이 때 등차수열의 합 (초항+마지막항)/(개수/2) 의 연산으로 간단하게 계산이 가능하다.

즉 위의 삼각형의 개수는 6개의 점을 이용한 선분의 개수와 동일하므로 초항이 5이고 마지막항이  1이고 공차가 -1인 등차수열의 합 (5+1)/(5/2) = 15 와 같이 간단하게 계산을 할 수 가 있다.

 

문제)

위의 도형에서 삼각형의 개수는 모두 몇개인가.

위쪽 변을 포함한 삼각형의 개수는 예제에서 살펴 본 것 과 같이 5+4+…+1 = 15개

아래쪽 변을 포함한 삼각형의 개수 역시 15개 이므로 합 30개이다.