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[정보올림피아드대비]9. 나누어 떨어짐을 이용하는 문제(배수판정법)

파아란기쁨 2022. 5. 13. 12:40

1. 수의 나누어 떨어지는 성질

성질1 : 만약 a,b,c 가 모두 c 에 의하여 나누어 떨어지면 그들의 합과 차도 모두 c에 의하여 나누어 떨어집니다. 즉 만약 c|a,c|b 이면 c|(a±b) 도 성립됩니다.(단, 여기서 c|a 의 의미는 a가 c로 나누어 떨어진다는 의미입니다.)

예) 2|10,2|6 이면 2|(10+6), 2|(10-6) 입니다.

성질2 : 만약 b와 c의 곱이 a를 나누어 떨어지게 하면 b와 c도 a를 나누어 떨어지게 할 수 있습니다. 즉 만약 bc|a 이면 b|a,c|a 도 성립합니다.

예) 2*5|30 이면 2|30,5|30 이 성립됩니다.

성질3 : 만약 b와 c가 모두 a를 나누어 떨어지게 하고 b와 c가 서로소이면, b와 c의 곱도 a를 나누어 떨어지게 합니다. 즉 b|a,c|a 이고 b와c가 서로소라고 하면 bc|a 도 성립합니다.(여기서 서로소는 두 수에서 공약수가 1을 제외하고는 없을때 서로 소라고 합니다.)

예) 2|28,7|28 이면 (2*7)|28 이 성립됩니다.

성질4 : 만약 c가 b를 나누어 떨어지게 하고, b가 a를 나누어 떨어지게 하면 c도 a를 나누어 떨어지게 합니다. 즉 c|b, b|a 이면 c|a 도 성립됩니다.

예) 3|9,9|27 이면 3|27

 2. 나누어 떨이지는 수의 특징

1) 2에 의하여 나누어 떨어지는 수의 특징 : 일의 자리가 0,2,4,6,8 인 정수입니다.

2) 5에 의하여 나누어 떨어지는 수의 특징 : 일의 자리가 0,5인 정수입니다.

3) 3또는 9에 의하여 나누어 떨어지는 수의 특징 : 각자리수의 합이 3 또는 9에 의하여 나누어 떨어집니다.

4) 4또는 25에 의하여 나누어 떨어지는 수의 특징 : 마지막 2자리수가 4또는 25에 의하여 나누어 떨어집니다.

예)1864 = 1800 + 64, 100은 4와 25의 배수이므로 1800은 4와 25의 배수입니다. 따라서 64는 4의 배수이므로 4로 나누어 떨어집니다.

5) 8또는 125에 의하여 나누어 떨어지는 수의 특징 : 마지막 3자리수가 8 또는 125에 의해 나누어 떨어집니다.

예)29375 = 29000 + 375, 29000은 8과 125로 나누어 떨어지므로 375만 확인하면 됩니다. 375는 125의 배수이므로 29375는 125의 배수입니다.

6) 11에 의하여 나누어 떨어지는 수의 특징 : 수의 홀수자리의 수의 합과 짝수자리의 수의 합의 차(큰수에서 작은 수를 뺀) 수가 11의 배수이면 11의 배수입니다.

증명) 10 은 11로 나누면 나머지가 10 혹은 (-1) 이다.

abcdef 의 수라고 하면 a*10^5 + b*10^4 + c*10^3 + d*10^2 + e*10^1 + f*10^0 이므로 mod(나머지 연산)을 수행하면 a*(-1)^5 + b*(-1)^4 + c*(-1)^3 + d*(-1)^2 + e*(-1)^1 + f*(-1)^0 = -a + b -c + d - e + f 가 되며 이 수가 11의 배수이면 11로 나누어 떨어지는 수가 됩니다.

예) 13574 = 1+5 + 4 - 3 - 7 = 0 이므로 11의 배수입니다.

7) 7 또는 13에 의하여 나누어 떨어지는 수의 특징 :  한 정수의 마지막 세자리 수와 그 세자리 수를 제외한 나머지 수들의 차(큰수에서 작은 수를 뺍니다.)가 7 또는 13에 의해 나누어 떨어지면 7또는 13의 배수입니다.

예) 1059282를 1059-282 = 777 입니다 여기서 777은 7의 배수이므로 7의 배수입니다.

3546725를 3546-725=2821, 2821은 2와 821로 나누어서 821-2 = 819 에서 819는 13의 배수이므로 3546725는 13의 배수입니다.

 

1. x2011y 가 45의 배수입니다. 여기서 x2011y 의 값은 무엇입니까?

문제풀이)

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45 = 5 * 9 이므로 x2011y 가 5의 배수이면서 9의 배수이면 45의 배수가 됩니다.

따라서 y=0 또는 5 이어야 5의 배수가 됩니다.

y=0 일때 x+2+0+1+1+0 이 9의 배수가 되는 x는 5 입니다.

y=5 일때 x+2+0+1+1+5 가 9의 배수가 되는 x는 0 또는 9 입니다. 하지만 0 일수는 없으므로 x는 9 입니다.

따라서 520110 또는 920115 입니다.

2. 선영이는 28자루의 가격이 같은 볼펜을 사는데 9x2x원이 들었습니다. x 의 값이 같다면 볼펜 한자루의 값은 얼마입니까?

문제풀이)

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28 = 7 * 4 이므로 9x2x는 7의 배수이고 4의 배수인 경우입니다.

2x 가 4의 배수인 경우는 x= 0,4,8 이 있습니다.

9040 에서 040-9=31 은 7의 배수가 아닙니다.

9424 에서 424-9 =  415 는 7의 배수가 아닙니다.

9828 에서 828-9 = 819 는 7의 배수입니다.

따라서 9848 / 28 = 351원

3. 1a2a3a4a5a 는 11에 의하여 나누어 떨어집니다. 이 조건을 만족시키는 모든 정수해를 구하시오

문제풀이)

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1+2+3+4+5 - 5*a = 11의 배수

15 - 5*a = 0 (a=3)

5*a - 15 = 11,22,33,44,...

a는 0~9 사이의 수이므로 3을 제외한 모든 수를 대입해 보았을때 11의 배수가 되는 경우가 없습니다.

따라서 정답은 1323334353

4. 865 뒤에 3개 숫자를 붙여서 6자리 수를 만들었습니다. 이 수는 3,4,5로 각각 나누어 떨어집니다. 수의 뒤에 붙이는 3개 숫자가 가장 작은 수일때, 6자리 수를 구하시오.

문제풀이)

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865abc 라고 하면 8+6+5+a+b+c 는 3의 배수이어야 합니다.

또한 bc 는 4의 배수이어야 합니다.

c는 0 또는 5입니다. 여기서 c=5 인 경우는 4의 배수일 수 없으므로 c = 0 입니다.

c= 0 일때 b = 0,2,4,6,8 이 됩니다.

b=0 일때 a = 2

b=2 일때 a = 0 

여기서 a가 0보다 작은 수는 없으므로 865020 을 선택하면 됩니다.

5. 어느 한 해의 10월에 모두 5개의 토요일, 4개의 일요일이 있습니다. 그러면 이 해의 10월 1일은 무슨 요일일까요?

문제풀이)

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10월에는 모두 31일이 있고 한 주는 7일입니다. 따라서 31 = 7*4 +3 입니다.

3일의 요일은 목,금,토 가 됩니다.

따라서 10월 1일은 목요일이 됩니다.

6. 3월 18일은 일요일,3월17일은 3월 18일을 기준으로 거꾸로 세면 첫번째날(즉, 3월 16일은 두번째날...) 입니다. 이 때 2014번째 날은 무슨 요일입니까?

문제풀이)

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한 주는 7일, 2014 ÷ 7 = 286 ... 5 

일요일부터 거꾸로 5번째 날은 화요일입니다.

따라서 2014번째 날은 화요일입니다.

 

 

 

 

[역대기출문제]

https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLScpI4yPWLjIAloXAxHS-swWc2_0hcKyOBL8XboWMYfEzoXewA/viewform

 

10-1. 나누어 떨어짐을 이용하는 문제(배수판정법)

 

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