순열과 조합의 개념

2019 MATH -TALK (매스-톡) 은 학생들에게 수학에 대한 긍정적인 경험을 제공하고 대중에게 수학에 대한 즐거움을 선사 하는 것이 목적인데요.

참가내용은 학생들이 자신이 이수한 교육과정 및 교과서 내에서 수학을 주제로 자유롭게 설명을 하는 것입니다.

참여 대상은 전국 중.고등학교에 재학중인 학생으로 개인 또는 2인으로 팀을 이루어 참가 가능 한데요.

오늘은 2019년 고등부 대상작품을 링크 걸어 보았어요.

이번 대상 작품은 충남 목천고등학생들이 수상을 했는데요.

내용은 순열과 조합에 관한 문제를 이해하기 쉽고 너무 재미있게 해석했는데요.

엄마가 피자와 치킨 햄버거 떡볶이를 시켜 주시고는 언니것도 남겨 두어야 하니까 딱 두가지만 먹으라는 거예요.ㅠ.ㅠ

음... 저 같으면 모두 좋아하는 것이니까 반씩 모두 먹고 반씩 남겨 주었으면 좋겠는데...

언니 입장에서는 누가 남긴것을 먹는 것은 많이 많이 싫을 것 같네요.

그래서 고민을 하게 되는데요...

먹는 순서를 고민하는 예림양을 도와 주기 위해 친구가 나섰습니다.

먹는 경우의 수가 몇가지나 될까요? 이것이 순서를 생각하는 순열이랍니다.

처음 먹는 경우는 (피자,햄버거,치킨,떡볶이) 중 한가지를 선택 할 수 있으니까 4가지

그 다음 먹는 경우는 처음 선택 한 것을 빼면 3가지 중에서 한가지를 선택 할 수 있게 됩니다.

여기서 모든 경우는 4 * 3 = 12 가지가 되는데요.

왜 곱셈일까요?

만약 첫번째 피자를 먹었다고 하면 그 다음에 먹는 경우는 피자를 제외한 3가지를 선택 할 수 있겠네요.

첫번째 치킨을 먹었다고 하면 그 다음에 먹는 경우는 치킨을 제외한 3가지를 선택 할 수 있을 것 같아요.

네 맞습니다. 각각의 경우에 다음에 선택 하는 경우가 3가지씩이므로 4 * 3 이 된답니다.

이렇게 4가지 중에서 2개를 순서를 생각해서 선택하는 경우를 순열이라고 하며 기호는 4P2 이라고 사용합니다.

그리고 4P2 = 4 * 3 으로 계산하는데요. 

이러한 순열 공식은 다음과 같습니다.

nPr=n×(n−1)×(n−2)×⋯×(n−r+1)

이며 이것을 다음과 같이 표현하기도 합니다.

위의 공식의 의미는 4개중 2개를 선택 한다면 4!/2! 와 같이 계산 하겠다는 의미이며 이것은 (4 * 3 * 2 * 1) / (2 * 1) 이므로 뒤쪽의 n-r 개 만큼의 갯수를 없애겠다는 의미입니다.

그 다음 위의 입장에서 생각을 해 보네요.^^

위의 입장에서는 피자가 먼저 들어 오든 떡볶이가 먼저 들어 오든 어차피 섞이기 때문에 무의미해집니다.

위에서는 무엇이든 배고프니 빨리 달라고 아우성입니다.

그렇다면 순서를 생각해서 고른 12가지 경우에서 순서를 없앤다고 하면 순서를 정하는 2가지로 나누어 주면 6가지가 됩니다.

(피자,햄버거) 나 (햄버거,피자)는 위의 입장에서는 동일한 음식이 들어 온것이기 때문입니다.

이렇게 순서를 고려하지 않은 수열을 조합이라고 합니다.

이러한 조합은 nPr 로 n개중에서 r개를 선택해서 나열을 한 다음에 선택한 r개를 순서로 나열하는 경우의 수 r! 로 나누어 주면 되는데요.

공식으로는 다음과 같이 사용합니다.

nCr = nPr / r! = n ! /  ( (n-r)! * r!) 로 표현을 합니다.

오늘은 학생들과 함께 순열과 조합의 개념을 알아 보았는데요.

학생들 입장에서 살펴 보니 순열과 조합의 개념이 훨씬 더 쉽게 느껴 졌는데요.

여러분은 어떠셨는지 모르겠네요.^^

 

순열과 조합은 알고리즘에서 규칙을 찾는 문제등에서 아주 자주 출제되는 유형 중에 하나입니다.

알고리즘 대회를 준비하거나 알고리즘을 공부하고 있다고 하면 순열과 조합의 개념을 이해하고 있으면 많은 도움이 됩니다.

오늘의 순열과 조합 문제가 도움이 되셨기를 바랍니다.

오늘도 최선을 다하는 우리 학생들을 응원합니다.

 

인천 서구 원당컴퓨터학원